» » Rumus dan Contoh Soal tentang Sistem Katrol

Rumus dan Contoh Soal tentang Sistem Katrol

#Sistem Katrol Sederhana

Sistem Katrol. Salah satu sistem yang dapat kita kaji dengan hukum Newton adalah sistem katrol. Jika sistem katrol bergerak, maka berlaku hukum kedua Newton. Jika sistem setimbang, maka berlaku hukum I Newton. Pada sistem katrol, yang perlu kita perhatikan adalah massa katrol dan gaya gesekan. Jika massa katrol dan gaya gesek diabaikan, maka besar tegangan tali pada sistem tersebut sama besar. Sebaliknya, jika massa katrol diketahui dan tidak diabaikan, maka besar tegangan talinya tidak sama. Berikut beberapa sistem katrol yang umum dipelajari.

A. Sistem Katrol Sederhana 

Untuk menganalisis sistem katrol sederhana seperti gambar di bawah, maka kita perlu menggambarkan garis gaya yang bekerja pada masing-masing benda. Pada gambar sebelah kiri, massa katrol diabaikan sehingga tegangan tali sama besar.

Sedangkan gambar sebelah kanan, tegangan talinya berbeda karena massa katrol tidak diabaikan.
Karena dua sistem tersebut berbeda rumus perhitungannya, maka kita akan bahas satu persatu sebagai berikut :

#1 Massa katrol diabaikan 
Ingat bahwa tegangan tali yang dialami benda 1 sama dengan tegangan tali yang dialami benda 2 (T1 = T2 = T). Pada gambar terlihat bahwa massa benda kedua lebih besar sehingga sistem bergerak ke kanan.

Tinjau benda I :
∑F = m.a
⇒ T1 - W1 = m1.a
⇒ T1 = m1.a + W1
⇒ T = m1.a + W1

Tinjau benda II :
∑F = m.a
⇒ W2 - T2 = m2.a
⇒ T2 = W2 - m2.a
⇒ T = W2 - m2.a

Karena tegangan tali sama besar, maka :
m1.a + W1 = W2 - m2.a
⇒ m1.a + m2.a = W2 - W1
⇒ (m1 + m2) a = W2 - W1
⇒ a = (W2 - W1)/(m1 + m2)
a = W2 − W1
(m1+ m2)

Dengan :
a = percepatan sistem (m/s2)
W2 = berat benda kedua (N)
W1 = berat benda pertama (N)
m1 = massa benda pertama (kg)
m2 = massa benda kedua (kg)

#2 Massa katrol tidak diabaikan 
Jika massa katrol tidak diabaikan, maka tegangan tali kedua tidak sama dengan tegangan tali pertama (T1 ≠ T2). Selain itu, kita juga harus meninjau momen gaya yang dialami katrol.

Tinjau benda I :
∑F = m.a
⇒ T1 - W1 = m1.a
⇒ T1 = m1.a + W1

Tinjau benda II :
∑F = m.a
⇒ W2 - T2 = m2.a
⇒ T2 = W2 - m2.a

Tinjau Katrol :
∑τ = I.α
⇒ T2.r - T1.r = k mk r2 . a⁄r
⇒ (T2 - T1) r = k.mk.r.a
⇒ T2 - T1 = k.mk.a

Substitusi nilai T1 dan T2 ke persamaan ketiga :
W2 - m2.a - m1.a - W1 = k.mk.a
⇒ W2 - W1 = k.mk.a + m2.a + m1.a
⇒ W2 - W1 = (k.mk + m2 + m1) a
⇒ a = (W2 - W1) / (k.mk + m2 + m1)
a =     W2 − W1
(k.mk + m1+ m2)

Dengan :
a = percepatan sistem (m/s2)
W2 = berat benda kedua (N)
W1 = berat benda pertama (N)
k = bilangan atau konstanta pada rumus inersia katrol.
mk = massa katrol (kg)
m1 = massa benda pertama (kg)
m2 = massa benda kedua (kg).

B. Sistem Katrol Bidang Datar 

Jika dua benda dihubungkan oleh tali dan sistem katrol, dengan salah satu benda tergantung dan benda lainnya berada di bidang datar, maka terdapat beberapa keadaan yang dapat kita amati, yaitu :

#1 Massa katrol diabaikan dan bidang licin

Tinjau benda I :
∑F = m.a
⇒ T1 = m1.a
⇒ T = m1.a

Tinjau benda II :
∑F = m.a
⇒ W2 - T2 = m2.a
⇒ T2 = W2 - m2.a
⇒ T = W2 - m2.a

Karena tegangan tali sama besar, maka :
m1.a = W2 - m2.a
⇒ m1.a + m2.a = W2
⇒ (m1 + m2) a = W2
⇒ a = (W2)/(m1 + m2)
a =     W2 
(m1+ m2)

Dengan :
a = percepatan sistem (m/s2)
W2 = berat benda kedua (N)
m1 = massa benda pertama (kg)
m2 = massa benda kedua (kg)

#2 Massa katrol dirpehitungkan dan bidang licin
Tinjau benda I :
∑F = m.a
⇒ T1 = m1.a

Tinjau benda II :
∑F = m.a
⇒ W2 - T2 = m2.a
⇒ T2 = W2 - m2.a

Tinjau Katrol :
∑τ = I.α
⇒ T2.r - T1.r = k mk r2 . a⁄r
⇒ (T2 - T1) r = k.mk.r.a
⇒ T2 - T1 = k.mk.a

Substitusi nilai T1 dan T2 ke persamaan ketiga :
W2 - m2.a - m1.a = k.mk.a
⇒ W2  = k.mk.a + m2.a + m1.a
⇒ W2 = (k.mk + m2 + m1) a
⇒ a = (W2) / (k.mk + m2 + m1)
a =          W2
(k.mk + m1+ m2)

Dengan :
a = percepatan sistem (m/s2)
W2 = berat benda kedua (N)
k = bilangan atau konstanta pada rumus inersia katrol.
mk = massa katrol (kg)
m1 = massa benda pertama (kg)
m2 = massa benda kedua (kg)

#3 Massa katrol diperhitungkan dan bidang kasar
Tinjau benda I :
∑F = m.a
⇒ T1 - Fg = m1.a
⇒ T1 = m1.a + Fg

Tinjau benda II :
∑F = m.a
⇒ W2 - T2 = m2.a
⇒ T2 = W2 - m2.a

Tinjau Katrol :
∑τ = I.α
⇒ T2.r - T1.r = k mk r2 . a⁄r
⇒ (T2 - T1) r = k.mk.r.a
⇒ T2 - T1 = k.mk.a

Substitusi nilai T1 dan T2 ke persamaan ketiga :
W2 - m2.a - m1.a - Fg = k.mk.a
⇒ W2  - Fg = k.mk.a + m2.a + m1.a
⇒ W2 - Fg = (k.mk + m2 + m1) a
⇒ a = (W2 - Fg) / (k.mk + m2 + m1)
a =       W2 − Fg
(k.mk + m1+ m2)

Dengan :
a = percepatan sistem (m/s2)
W2 = berat benda kedua (N)
Fg = gaya gesek antara benda 1 dan bidang kasar (N)
k = bilangan atau konstanta pada rumus inersia katrol.
mk = massa katrol (kg)
m1 = massa benda pertama (kg)
m2 = massa benda kedua (kg).

#Sistem Katrol dan Bidang Miring

Ketika sistem katrol dipadu dengan bidang miring, maka percepatan yang dialami oleh benda akan bergantung kepada penguraian gaya berat benda dan gaya gesek antara benda dengan bidang miring.
Sama seperti sistem katrol yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, sistem katrol yang dipadu dengan bidang miring juga dikaji berdasarkan ada tidaknya gaya gesek pada bidang miring dan massa katrol.

Berikut akan disajikan empat kemungkinan yang sering terjadi pada sistem katrol dan bidang miring.
  1. Massa Katrol diabaikan dan Bidang Licin
    Ketika massa katrol dibaikan, dan bidang miring licin maka berlaku :
    1. Tegangan tali sama (T1 = T2 = T)
    2. Tidak ada gaya gesek.

    Pada gambar di atas telah ditunjukkan gaya-gaya yang bekerja pada benda. Pada benda pertama, karena berada pada bidang miring dan gaya berat arahnya ke bawah, maka gaya beratnya harus diuraikan menjadi Wx dan Wy seperti yang terlihat di gambar. Dari gambar jelas terlihat bahwa gaya berat yang berada dalam garis gerak adalah Wx. Jika m1 < m2, maka sistem akan bergerak ke arah m2.

    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 - W1x = m1.a
    ⇒ T1 = m1.a + W1x
    ⇒ T = m1.a + W1x
    ⇒ T = m1.a + W1 sin θ

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - T2 = m2.a
    ⇒ T2 = W2 - m2.a
    ⇒ T = W2 - m2.a

    Karena tegangan tali sama besar, maka :
    m1.a + W1 sin θ = W2 - m2.a
    ⇒ m1.a + m2.a = W2 - W1 sin θ
    ⇒ (m1 + m2) a = W2 - W1 sin θ
    ⇒ a = (W2 - W1 sin θ)/(m1 + m2)

    a = W2 − W1 sin θ
       (m1+ m2)

    Dengan :
    a = percepatan sistem (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    W1 = berat benda pertama (N)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)
    θ = sudut kemiringan bidang.


  2. Massa Katrol diabaikan dan Bidang Kasar
    Ketika massa katrol diabaikan dan bidang miring kasar, maka berlaku :
    1. Tegangan tali sama (T1 = T2 = T)
    2. Terdapat gaya gesek.


    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 - W1x - Fg = m1.a
    ⇒ T1 = m1.a + Fg + W1x
    ⇒ T = m1.a + Fg + W1 sin θ

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - T2 = m2.a
    ⇒ T2 = W2 - m2.a
    ⇒ T = W2 - m2.a

    Karena tegangan tali sama besar, maka :
    m1.a + Fg + W1 sin θ = W2 - m2.a
    ⇒ m1.a + m2.a = W2 - Fg - W1 sin θ
    ⇒ (m1 + m2) a = W2 - Fg - W1 sin θ
    ⇒ a = (W2 - Fg - W1 sin θ)/(m1 + m2)

    a = W2 − Fg − W1 sin θ
          (m1+ m2)

    Dengan :
    a = percepatan sistem (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    W1 = berat benda pertama (N)
    Fg = gaya gesek antara benda 1 dan bidang kasar (N)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)
    θ = sudut kemiringan bidang.


  3. Massa Katrol diketahui dan Bidang Licin
    Ketika massa katrol tidak diabaikan dan bidang miring licin, maka :
    1. Tegangan tali tidak sama (T1 ≠ T2)
    2. Tidak ada gaya gesek.

    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 - W1x = m1.a
    ⇒ T1 = m1.a + W1x
    ⇒ T1 = m1.a + W1 sin θ

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - T2 = m2.a
    ⇒ T2 = W2 - m2.a

    Tinjau Katrol :
    ∑τ = I.α
    ⇒ T2.r - T1.r = k mk r2 . a⁄r
    ⇒ (T2 - T1) r = k.mk.r.a
    ⇒ T2 - T1 = k.mk.a

    Substitusi nilai T1 dan T2 ke persamaan ketiga, maka :
    T2 - T1 = k.mk.a
    ⇒ W2 - m2.a - m1.a - W1 sin θ = k.mk.a
    ⇒ W2 - W1 sin θ = k.mk.a + m2.a + m1.a
    ⇒ W2 - W1 sin θ = (k.mk + m2 + m1) a
    ⇒ a = (W2 - W1 sin θ ) / (k.mk + m2 + m1)

    a =   W2 − W1 sin θ
    (k.mk + m2 + m1)

    Dengan :
    a = percepatan sistem (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    W1 = berat benda pertama (N)
    k = bilangan atau konstanta pada rumus inersia katrol.
    mk = massa katrol (kg)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)
    θ = sudut kemiringan bidang.


  4. Massa Katrol diketahui dan Bidang Kasar
    Jika massa katrol tidak diabaikan dan bidang miring bersifat kasar, maka :
    1. Tegangan tali tidak sama (T1 ≠ T2)
    2. Terdapat gaya gesek.


    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 - W1x - Fg = m1.a
    ⇒ T1 = m1.a + Fg + W1x
    ⇒ T1 = m1.a + Fg + W1 sin θ

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - T2 = m2.a
    ⇒ T2 = W2 - m2.a

    Tinjau Katrol :
    ∑τ = I.α
    ⇒ T2.r - T1.r = k mk r2 . a⁄r
    ⇒ (T2 - T1) r = k.mk.r.a
    ⇒ T2 - T1 = k.mk.a

    Substitusi nilai T1 dan T2 ke persamaan ketiga :
    T2 - T1 = k.mk.a
    ⇒ W2 - m2.a - m1.a - Fg - W1 sin θ = k.mk.a
    ⇒ W2  - Fg - W1 sin θ = k.mk.a + m2.a + m1.a
    ⇒ W2 - Fg - W1 sin θ = (k.mk + m2 + m1) a
    ⇒ a = (W2 - Fg - W1 sin θ) / (k.mk + m2 + m1)

    a = W2 − Fg − W1 sin θ
       (k.mk + m1+ m2)

    Dengan :
    a = percepatan sistem (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    W1 = berat benda pertama (N)
    Fg = gaya gesek antara benda 1 dan bidang kasar (N)
    k = bilangan atau konstanta pada rumus inersia katrol.
    mk = massa katrol (kg)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)
    θ = sudut kemiringan bidang.

#Sistem Katrol Majemuk

Ketika sistem katrol terdiri dari satu katrol tetap dan satu katrol bergerak, maka percepatan yang dialami benda akan dipengaruhi oleh hubungan tali antar katrol.  Berikut ini akan dibahas mengenai percepatan benda yang berada dalam sistem katrol majemuk. Pada dasarnya, prinsip menentukan percepatan benda pada sistem katrol majemuk sama dengan pembahasan sistem katrol sebelumnya baik pada bidang miring maupun bidang datar.

Hanya saja karena terdapat dua katrol dan keduanya dihubungkan oleh tegangan tali yang saling mempengaruhi, maka percepatan benda akan berbeda. Berikut dua keadaan yang akan dibahas :
  1. Massa Katrol Diabaikan dan Bidang Licin
    Jika sistem katrol seperti gambar di bawah ini, maka berlaku :
    1. Tegangan tali sama (T1 = T2 = T)
    2. Tidak ada gaya gesek.
    3. Percepatan benda tidak sama (a1 = 2a2)

    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 = m1.a1
    ⇒ T = m1.a1 

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - 2T2 = m2.a2
    ⇒ 2T2 = W2 - m2.a2
    ⇒ 2T = W2 - m2.a2

    Karena tegangan tali pada benda kedua sama dengan tegangan tali benda pertama, maka percepatan yang dialami benda kedua adalah :
    2T = W2 - m2.a2
    ⇒ 2(m1.a1) = W2 - m2.a2
    ⇒ 2 m1.a1 = W2 - m2.a2
    Karena a1 = 2a2, maka :
    ⇒ 2 m1 (2a2) = W2 - m2.a2
    ⇒ 4 m1.a2 = W2 - m2.a2
    ⇒ 4 m1.a2 + m2.a2 = W2
    ⇒ (4m1+ m2) a2 = W2
    ⇒ a2 = W2 / (4m1+ m2)

    a2 =      W2 
    (4m1+ m2)

    Dengan begitu percepatan benda pertama adalah :

    a1 =     2 W2 
    (4m1+ m2)

    Dengan :
    a1 = percepatan benda pertama (m/s2)
    a2 = percepatan benda kedua (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)


  2. Massa Katrol Diabaikan dan Bidang Kasar
    Jika bidang datar bersifat kasar, maka berlaku :
    1. Tegangan tali sama (T1 = T2 = T)
    2. Terdapat gaya gesek.
    3. Percepatan benda tidak sama (a1 = 2a2)

    Tinjau benda I :
    ∑F = m.a
    ⇒ T1 - Fg = m1.a1
    ⇒ T = m1.a1 + Fg

    Tinjau benda II :
    ∑F = m.a
    ⇒ W2 - 2T2 = m2.a2
    ⇒ 2T2 = W2 - m2.a2
    ⇒ 2T = W2 - m2.a2

    Karena tegangan tali pada benda kedua sama dengan tegangan tali benda pertama, maka percepatan yang dialami benda kedua adalah :
    2T = W2 - m2.a2
    ⇒ 2(m1.a1 + Fg) = W2 - m2.a2
    ⇒ 2 m1.a1 + 2Fg = W2 - m2.a2
    Karena a1 = 2a2, maka :
    ⇒ 2 m1 (2a2) + 2Fg = W2 - m2.a2
    ⇒ 4 m1.a2 + 2Fg = W2 - m2.a2
    ⇒ 4 m1.a2 + m2.a2 + 2Fg = W2
    ⇒ (4m1+ m2) a2 = W2 - 2Fg
    ⇒ a2 = (W2 - 2Fg)/ (4m1+ m2)

    a2 = W2 - 2Fg 
    (4m1+ m2)

    Dengan begitu percepatan benda pertama adalah :

    a1 = 2(W2 - 2Fg)
     (4m1+ m2)

    Dengan :
    a1 = percepatan benda pertama (m/s2)
    a2 = percepatan benda kedua (m/s2)
    W2 = berat benda kedua (N)
    Fg = gaya gesek benda 1 dengan bidang (N)
    m1 = massa benda pertama (kg)
    m2 = massa benda kedua (kg)

Share on Facebook
Share on Twitter
Share on Google+
Share on LinkedIn